Cables suspendidos.: octubre 2016

CABLE PARABOLICO Y CATENARIA.

Cable parabólico.

Es un caso particular del anterior, en el que la densidad de carga es constante. Podemos ver muchos ejemplos de este tipo de cables en la vida real (puentes y otras estructuras). Su configuración es la siguiente:

Ahora, teniendo en cuenta que la distribución w es constante, podemos particularizar las ecuaciones que rigen el comportamiento de este cable a partir del caso 2, obteniendo así la altura es función del cuadrado de x, es decir, sigue una curva tipo parábola, y de ahí su nombre.

Catenaria.

El modelo de cable por excelencia, ya que aparece en una infinidad de casos en la naturaleza. Por ejemplo los tendidos eléctricos, una cadena, o una tela de araña son ejemplos de catenaria. En este caso, el cable solo está sujeto a su propio peso. El concepto parece sencillo, sin embargo es el que contiene una mayor carga matemática.

Para determinar completamente la catenaria es necesario conocer su longitud. Para este fin se pueden considerar las tensiones verticales y horizontales siguiendo el siguiente esquema:

Por último, hay que saber determinar la altura en cualquier punto del cable, lo que además es necesario para calcular la tensión vectorial en cada punto. Esta es proporcional a su altura (T = cy).

Catenaria .
Una catenaria es una curva ideal que representa físicamente la curva generada por una cadena, o hilo, sin rigidez flexional, suspendida de sus dos extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta palabra proviene del latín catēnarĭus (‘propio de la cadena’). Por extensión, en matemáticas se denomina catēnaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la tractriz es la catenaria.

Enfoque matemático

La condición de equilibrio de un cable sometido a su propio peso vertical lleva a un problema de equilibrio en el plano (la catenaria es siempre una curva plana si se puede despreciar la rigidez flexional del cable). De la condición de equilibrio local de cada punto se desprende la siguiente ecuación diferencial para la pendiente de la catenaria, que relaciona las tensiones en los extremos de un tramo y el peso del mismo (ver deducción de la catenaria):

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\lambda }{T_{H}}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$

Donde:

\lambda \,

es el peso por unidad de longitud, que se supone constante.

T_{H}\,

la tensión horizontal que aparecerá en los extremos del cable.

La solución general viene dada por:

$y(x)={\frac {T_{H}}{\lambda }}\cosh \left({\frac {\lambda }{T_{H}}}(x-C_{1})\right)+C_{2}=a\cosh \left({\frac {x-C_{1}}{a}}\right)+C_{2}$

La solución para de la ecuación anterior para un cable suspendido de dos puntos a la misma altura y cuyo punto mínimo es, tomando su mínimo en el punto (0,a) resulta ser:

${\begin{cases}y=a\,\cosh \left({x \over a}\right)={a \over 2}\,\left(e^{{x/a}}+e^{{-x/a}}\right)\\a=\left({\frac {T_{H}}{\lambda }}\right)\end{cases}}$

\scriptstyle T_{H}

es la componente horizontal de la tensión, que es constante,

\scriptstyle \lambda

es el peso por unidad de longitud del hilo y

\cosh(\cdot )

es la función coseno hiperbólico. Si se desarrolla en series de Taylor la ecuación de la catenaria se obtiene una curva cercana a una parábola:

$y(x)\approx a\left[\left(1+{\frac {C_{2}}{a}}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {(x-C_{1})^{2}}{a^{2}}}\right]+O(x^{4})$

Deducción de la ecuación de la catenaria

Elemento lineal de una catenaria en equilibrio.

La ecuación diferencial puede deducirse aplicando el equilibrio de fuerzas a una porción infinitesimal de catenaria. Aplicando el equilibrio de fuerzas a las fuerzas horizontales y verticales se tiene que:

${\begin{cases}F_{H}=T\cos \alpha (x+\Delta x)-T\cos \alpha (x)=0\\F_{V}=T\sin \alpha (x+\Delta x)-T\sin \alpha (x)=\int _{s_{1}}^{s_{2}}w\ ds\end{cases}}$ ${\begin{cases}F_{H}=T\cos \alpha (x+\Delta x)-T\cos \alpha (x)=0\\F_{V}=T\sin \alpha (x+\Delta x)-T\sin \alpha (x)=\int _{{s_{1}}}^{{s_{2}}}w\ ds\end{cases}}$

Donde:

\alpha\,

es el ángulo formado por la catenaria y la horizontal.

T(x)\,

es la tensión total del cable para cada punto.

w\,

es el peso por unidad de longitud.

La primera de las ecuaciones implica que

\scriptstyle T\cos \alpha =T_{H}={\mbox{cte}}

mientras que la segunda de ellas puede escribirse escogiendo adecuadamente el origen de la longitud de arco como:

${\begin{cases}T\cos \alpha =T_{H}\\T\sin \alpha =w(s-s_{0})\end{cases}}\Rightarrow \tan \alpha ={\frac {w}{T_{H}}}(s-s_{0})$ ${\begin{cases}T\cos \alpha =T_{H}\\T\sin \alpha =w(s-s_{0})\end{cases}}\Rightarrow \tan \alpha ={\frac {w}{T_{H}}}(s-s_{0})$

Introduciendo la relación entre la tangente del ángulo de la pendiente y la longitud de arco:

${\begin{cases}\tan \alpha ={\frac {dy}{dx}}\\s=s_{0}+\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\end{cases}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}={\frac {w}{T_{H}}}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$ ${\begin{cases}\tan \alpha ={\frac {dy}{dx}}\\s=s_{0}+\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\end{cases}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}={\frac {w}{T_{H}}}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx$

Derivando la última relación se obtiene precisamente :

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {\lambda }{T_{H}}}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}$

Cable sometido a Cargas Concentradas- Tensión

Unidad 6: Cables Suspendidos.

Los cables a menudo son usados en estructuras ingenieriles para soportar y transmitir cargas de un miembro a otro. Cuando se utilizan para soportar puentes colgantes y ruedas de tranvía. Los cables constituyen el elemento principal de carga de la estructura.

En el análisis de fuerzas de tales sistemas, el peso del cable puede ser ignorado por ser a menudo pequeño comparado con la carga que lleva. Por otra parte, cuando los cables se usan como líneas de transmisión y retenidas para antenas de radio y grúas, el peso del cable puede llegar a ser importante y debe ser incluido en el análisis estructural. En el análisis que se presenta en seguida serna considerados tres casos:

un cable sometido a cargas concentradas.
un cable sometido a una carga distribuida.
un cable sometido a un propio peso. Independientemente de qué condiciones de cargas estén presentes, siempre que la carga sea coplanar con el cable, los requisitos de equilibrio son formulados de manera idéntica.

Al derivar las relaciones necesarias entre la fuerza en el cable y su pendiente, Formularemos la hipótesis de que el cable es perfectamente flexible e inextensible. Debido a su flexibilidad, en el cable no ofrece resistencia a la flexión, y por tanto, la fuerza de tensión que actúa en el es siempre tangente en puntos localizados a lo largo de su longitud

Por ser inextensible, el cable tiene una longitud constante antes y después de aplicarse la carga. Como resultado, una vez aplicada la carga, la geometría del cable permanece fija, y el cable o segmento de él pueden ser tratados como un cuerpo rígido.

Cuando un cable de peso insignificante soporta varias cargas concentradas, toma la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los cuales está sometido a una fuerza de tensión constante.

Consideremos un cable sujeto a dos puntos fijos A y B, que soportan “n” cargas concentradas ,como se muestra a continuación.

Suponemos que el cable es flexible, es decir, que su resistencia a la flexión es pequeña y puede despreciarse. Además, suponemos que el peso del cable es despreciable comparado con las cargas soportadas por él. En consecuencia, cualquier porción de cable entre dos cargas sucesivas puede considerarse como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas; las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable.

Ahora suponemos que cada una de las cargas actúa a lo largo de una línea vertical dada, es decir, se conoce la distancia horizontal del soporte A, a cada una de las cargas; también que se conocen las distancias horizontal y vertical entre los soportes. Nos proponemos determinar la forma del cable, o sea, la distancia vertical de A, a cada punto , y también la tensión en cada porción del cable.

Hacemos el diagrama de cuerpo libre de todo el cable.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio.

Como no se conocen las pendientes de las porciones de cable que se sujetan a A y B, cada una de las reacciones en A y B debe representarse por dos componentes. Por tanto, tenemos cuatro incógnitas y las tres ecuaciones de equilibrio no son suficientes para calcular las reacciones en A y B. En consecuencia, debemos plantear una ecuación adicional considerando el equilibrio de una porción del cable. Esto es posible si conocemos la coordenada X y Y de un punto D del cable.

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la porción AD del cable.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio.

De esta forma obtenemos una relación adicional que simultaneada con la ecuación (1) se pueden obtener las componentes rectangulares de la reacción en A y, así aplicando las otras dos ecuaciones de equilibrio en el primer diagrama se obtienen las componentes rectangulares de la reacción en B.

Sin embargo el problema seguirá siendo indeterminado si no conocemos las coordenadas del punto D, o si no se especifica alguna otra relación entre AX y AY (o entre BX y BY). El cable pudiera colgar de varias maneras posibles, como se indica por las líneas de trazos discontinuos. Cuando AX y AY han sido calculadas, las distancia vertical de A a cualquier punto del cable puede encontrarse fácilmente. Por ejemplo, considerando el punto C₂.

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de la porción A C₂.

Aplicando las ecuaciones de equilibrio:

De donde puede obtener el valor de Y₂.

Con las ecuaciones:

Obtenemos las componentes de fuerza T que representa la tensión en la porción de cable situado a la derecha del punto C₂. Observamos que Tcos = -A_X; la componente horizontal de la tensión T es la misma en cualquier punto del cable.

Por tanto la tensión T es máxima cuando cos q es mínimo, es decir, en la porción del cable que tiene el máximo ángulo de inclinación que evidentemente, esta porción de cable debe ser adyacente a uno de los dos soportes del cable.

Por su flexibilidad, los cables cambian su forma de acuerdo a las cargas a las que está sometida y pueden dividirse en dos categorías: Cables que sostienen cargas distribuidas y Cables que soportan cargas concentradas para este último.

Un cable no constituye una estructura auto portante a menos de contar con medios y procedimientos para absorber su empuje. Por su simplicidad, versatilidad, resistencia y economía, los cables se han convertido en un elemento imprescindible en muchas obras de ingeniería. Los cables son ampliamente utilizados por sus características particulares de peso, resistencia y flexibilidad, en realidad los cables no son perfectamente flexibles, ya que ofrecen resistencia a ser doblados, pero esta fuerza es tan pequeña en comparación con la fuerza que pueden resistir que pueden despreciarse y las cargas concentradas son aquellas que tienen un solo punto de aplicación.

Cables con Cargas Distribuidas.

Considérese un cable que está unido a dos puntos fijos A y B y que soporta una carga distribuida. En la sección anterior se vio que, para un cable que soporta cargas concentradas, la fuerza interna en cualquier punto es una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable. En el caso de un cable que soporte una carga distribuida, éste cuelga tomando la forma de una curva y la fuerza interna en un punto D es una fuerza de tensión T dirigida a lo largo de la tangente de la curva. En esta sección, se aprenderá a determinar la tensión en cualquier punto de un cable que soporta una carga distribuida dada.

Cables con Cargas Concentradas.

Los cables se utilizan en muchas aplicaciones ingenieriles, tales como puentes colgantes, líneas de transmisión, teleféricos, contravientos para torres altas, entre otros. Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas que actúan sobre estos.

Considérese un cable unido a dos puntos fijos A y B y que soportan cargas concentradas verticales P1, P2…….Pn. se supone que el cable es flexible, esto es que su resistencia a la reflexión es pequeña y puede despreciarse. Además, también se supone que el peso del cable es susceptible de ser ignorado en comparación con las cargas que soporta

Por lo tanto, cualquier porción del cable entre dos cargas consecutivas se puede considerar como un elemento sometido a la acción de dos fuerzas y, por consiguiente, las fuerzas internas en cualquier punto del cable se reducen a una fuerza de tensión dirigida a lo largo del cable.

Se supone que cada una de las cargas se encuentran en una línea vertical dada, esto es, que la distancia horizontal desde el apoyo A hasta cada una de las cargas es conocida; además, también se supone que las distancias horizontal y vertical entre los apoyos son conocidas.

Cables Sometidos a Cargas Uniformemente Distribuidas en la Proyección Horizontal.

Se considera que el peso produce una carga uniformemente distribuida en la proyección horizontal, caso de cables cuya relación flecha/longitud es pequeña.

Cables Parabólicos.

Cuando un hilo está sometido a una carga uniforme por unidad de proyección horizontal, dicho hilo adquiere la forma de una parábola si se desprecia su peso propio respecto al de la carga que debe soportar. Este caso se presenta, en la práctica, en el cálculo de puentes colgantes, en los que el peso del tablero es mucho mayor que el del cable que lo sustenta.

El tablero, o base del puente colgante, lo podemos representar por una carga vertical, p (N/m), uniformemente distribuida a lo largo de la proyección horizontal del cable. La transmisión de carga del tablero al cable se realiza mediante unos cables verticales denominados tirantes, también de peso despreciable frente al del tablero.

Cables en Forma de Catenaria.

Llamando wpp la carga por unidad de longitud (medida a lo largo del cable), encontramos que la magnitud W de la carga total soportada por una porción de cable de longitud s medida desde el punto más bajo a un punto a lo largo del cable es W = ws.

Cables Sometidos a Cargas Concentradas

Para determinar la tensión en cada tramo se empieza por determinar las reacciones. Estas comprenden cuatro incógnitas lo cual hace que el sistema sea estáticamente indeterminado.

Para poder obviar esta indeterminación es necesario conocer la posición de un punto del cable. Supongamos que se conoce la posición de la carga P2 con coordenadas (x2, y2).

Lo cual indica que la componente horizontal de la tensión en cualquier tramo es constante.

Se toman los momentos con respecto al punto B se obtiene una relación entre Ax y Ay. Luego, tomamos los momentos con respecto al punto D se obtiene otra relación entre Ax y Ay que con la anterior se pueden resolver simultáneamente para determinar Ax y Ay.

Una vez determinadas las reacciones en A se obtiene By, y como Bx = -Ax quedan completamente las reacciones. Habiéndose determinado las reacciones se puede tomar cualquier porción del cable para hallar la tensión correspondiente.