Catenaria .
Una catenaria es una curva ideal que representa físicamente la curva generada por una cadena, o hilo, sin rigidez flexional, suspendida de sus dos extremos y sometida a un campo gravitatorio uniforme. Esta palabra proviene del latín catēnarĭus (‘propio de la cadena’). Por extensión, en matemáticas se denomina catēnaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme. La evoluta de la tractriz es la catenaria.

Enfoque matemático

La condición de equilibrio de un cable sometido a su propio peso vertical lleva a un problema de equilibrio en el plano (la catenaria es siempre una curva plana si se puede despreciar la rigidez flexional del cable). De la condición de equilibrio local de cada punto se desprende la siguiente ecuación diferencial para la pendiente de la catenaria, que relaciona las tensiones en los extremos de un tramo y el peso del mismo (ver deducción de la catenaria):

Donde:

${\displaystyle \lambda \,}$ es el peso por unidad de longitud, que se supone constante.

${\displaystyle T_{H}\,}$ la tensión horizontal que aparecerá en los extremos del cable.

La solución general viene dada por:

La solución para de la ecuación anterior para un cable suspendido de dos puntos a la misma altura y cuyo punto mínimo es, tomando su mínimo en el punto (0,a) resulta ser:

 es la componente horizontal de la tensión, que es constante, ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$ es el peso por unidad de longitud del hilo y ${\displaystyle \cosh(\cdot )}$ es la función coseno hiperbólico. Si se desarrolla en series de Taylor la ecuación de la catenaria se obtiene una curva cercana a una parábola:

Deducción de la ecuación de la catenaria

Elemento lineal de una catenaria en equilibrio.

La ecuación diferencial  puede deducirse aplicando el equilibrio de fuerzas a una porción infinitesimal de catenaria. Aplicando el equilibrio de fuerzas a las fuerzas horizontales y verticales se tiene que:

${\displaystyle {\begin{cases}F_{H}=T\cos \alpha (x+\Delta x)-T\cos \alpha (x)=0\\F_{V}=T\sin \alpha (x+\Delta x)-T\sin \alpha (x)=\int _{s_{1}}^{s_{2}}w\ ds\end{cases}}}$

 Donde:

${\displaystyle \alpha \,}$ es el ángulo formado por la catenaria y la horizontal.

${\displaystyle T(x)\,}$ es la tensión total del cable para cada punto.

${\displaystyle w\,}$ es el peso por unidad de longitud.

La primera de las ecuaciones implica que ${\displaystyle \scriptstyle T\cos \alpha =T_{H}={\mbox{cte}}}$ mientras que la segunda de ellas puede escribirse escogiendo adecuadamente el origen de la longitud de arco como:

${\displaystyle {\begin{cases}T\cos \alpha =T_{H}\\T\sin \alpha =w(s-s_{0})\end{cases}}\Rightarrow \tan \alpha ={\frac {w}{T_{H}}}(s-s_{0})}$

Introduciendo la relación entre la tangente del ángulo de la pendiente y la longitud de arco:

${\displaystyle {\begin{cases}\tan \alpha ={\frac {dy}{dx}}\\s=s_{0}+\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx\end{cases}}\Rightarrow {\frac {dy}{dx}}={\frac {w}{T_{H}}}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx}$

Derivando la última relación se obtiene precisamente :